Expresiones Algebraicas: Lenguaje Algebraico

Definición de álgebra:
Así como la aritmética, surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir el tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy posterior puesto que debieron de transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de numero que es el fundamento del álgebra. El gran desarrollo experimentado por el álgebra se debió sobre todo a los matemáticos árabes y muy en particular a Al-Hwarizmi(siglo IX D.C), que sentó las bases del álgebra tal como lo conocemos hoy en día.
El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades.
El concepto algebraico de cantidad es mucho mas amplio que el aritmético, puesto que mientras en aritmética las cantidades se representan mediante números que expresan valores determinados; en álgebra las cantidades se representan mediante letras que pueden representar cualquier valor que se les asigne.Por ejemplo, en la expresión “el doble de la suma de dos números”, se desconocen cuáles son los dos números, solo se sabe que su suma se multiplica por dos, puesto que dice el doble. Si los números desconocidos se representan con las letras x y z, entonces la expresión algebraica que representa el enunciado es: 2(x + z). Luego las expresiones como 2(x+2) se denominan expresiones algebraicas.
Una expresión algebraica es la combinación de números y letras, relacionadas por medio de una o varias operaciones matemáticas. Por ejemplo la expresión algebraica para representar el área de un rectángulo de base 2x y altura x, es 2x^2.

Las expresiones algebraicas son muy utilizadas en las ciencias como la química o la física Por ejemplo, la expresión algebraica que representa la distancia de un objeto en caída libre es: v_ot +4,9t², donde v_o, representa la velocidad inicial del objeto y t representa el tiempo transcurrido en recorrer dicha distancia.

Otras ciencias como la economía y la administración, utilizan expresiones algebraicas para determinar variables como: el costo y la utilidad entre otros. Por ejemplo, el costo de producir cierto número de artículos está dado por la expresión mx +b. donde m representa el costo por unidad de cada artículo, x el número de artículos y b los costos fijos.

Las expresiones algebraicas se clasifican así:

*Racionales: son expresiones algebraicas que no presentan ninguna variable bajo el signo radical.

Estas Expresiones pueden ser enteras o fraccionarias.
-Enteras: cuando no presentan ninguna variable en su denominador. Por ejemplo 5x³y; 2/3xy²

-Fraccionarias: cuando el denominador presenta alguna variable. Por ejemplo: 5/x.

*Irracionales: son expresiones algebraicas en las que aparece alguna variable bajo el signo radical.

Notación algebraica:

Los símbolos que se emplean en el lenguaje algebraico para representar cantidades pueden ser de dos tipos: números y letras del alfabeto.

Los números se emplean para representar cantidades conocidas y perfectamente determinadas.

Las letras se utilizan para determinar todo tipo de cantidades tanto conocidas como desconocidas.
En general, las cantidades conocidas o datos del problema se representan utilizando las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d…,(aunque se puede utilizar cualquier letra del alfabeto). Mientras que las cantidades desconocidas, variables o incógnitas se representan utilizando las últimas letras del alfabeto: x, y, z… Se utilizan también algunos vocablos griegos

Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas. Una fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general.

En conclusión: en una expresión algebraica se indican números conocidos y desconocidos. A los números conocidos o determinados se les denomina constantes. En cambio a los números desconocidos, cuyo valor puede cambiar se les denomina variables.

3. Signos algebraicos de operación, de relación y de agrupación.

Con las expresiones algebraicas se efectúan las mismas operaciones que con las aritméticas, es decir: suma o adición, resta, multiplicación o producto, división, potenciación, radicación, logaritmación, etc.

Signos de operación:

En la suma se utiliza el signo (+). Así, por ejemplos x+y se leerá “equis más ye”.

En la resta se utiliza el signo (-). Así, por ejemplo x-y se leerá “equis menos ye”.

En la multiplicación se utiliza el símbolo multiplicado por (x) ó (×). Así, por ejemplo x x y = x×y se leerá “equis multiplicado por ye”. El signo suele omitirse cuando los factores están indicados por letras o bien por letras y números.Por ejemplo x x y x z = x×y×z =xyz

En la división se utiliza el signo dividido entre (:)(¸) ó (/).
Así, por ejemplo x:y = x/y = x¸y y se leerá “equis dividido entre ye”.

En la potenciación se utiliza un superíndice denominado exponente que se sitúa arriba y a la derecha de una cantidad llamada base por sí misma. Así, por ejemplo x⁴= x.x.x.x…(4 veces) y se leerá “equis elevado a la ye”. En el caso de que una letra no lleve exponente se sobreentiende que el exponente es uno.

En la radicación se utiliza el signo radical, debajo del cual se coloca la cantidad a la que se le extrae la raíz.

Signos de relación: Los signos de relación se utilizan para indicar la relación que hay entre dos cantidades.

*El signo = se lee igual a, x=y se leerá “equis igual a ye”.

*El signo - se lee diferente de, x-y se leerá “equis diferente de ye”.

*El signo > se lee mayor que, x>y se leerá “equis mayor que ye”.

*El signo < se lee menor que, x<y se leerá “equis menor que ye”.

*El signo > se lee mayor que o igual.

*El signo < se lee menor que o igual.

Signos de agrupación: se usan para cambiar el orden de las operaciones, se indica dentro de estos cuál de las operaciones debe realizarse en primer lugar, estos símbolos son el paréntesis ( ), el corchete [ ], y la llave { }.
Término algebraico y sus partes

Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -, pero si multiplicaciones entre constantes y las variables. Así, por ejemplo xy² es un término algebraico.

En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, el exponente y la parte literal.
Signo: los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los términos que van precedidos del signo – se llaman términos negativos. Pero, el signo + se acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues, cuando un término no va precedido de ningún signo se sobreentiende que es positivo.

Coeficiente: Se llama coeficiente al número real que aparece en cada término. Por ejemplo, en el término 4m, el coeficiente es 4; en el término ab, el coeficiente es 1. (En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad).

Exponente: es el número que indica la cantidad de veces que se multiplica cada variable. Por Ejemplo,
en el término 20x², el exponente de x es 2, el cual indica que el valor que representa x se multiplica dos veces, es decir, (x).(x) = x².
Parte literal: la parte literal está formada por las letras o variables que haya en el término, con sus respectivos exponentes. Por ejemplo en el término -2bc, la parte literal es abc, donde el exponente de cada variable es 1.

Los siguientes son ejemplos de las expresiones algebraicas más usadas, en forma verbal y escrita:
La suma de dos números: a + b
La resta o diferencia de dos números: x – y
El producto de dos números: ab
El cociente de dos números:a/b
El cociente de la suma de dos números, sobre la diferencia: x+y/x-y
El doble de un número: 2x
El doble de la suma de dos números:2(a+b)
El triple de la diferencia de dos números:3(x-y)
La mitad de un número: x/2
La mitad de la diferencia de dos números: x-y/2
El cuadrado de un número: x²
El cuadrado de la suma de dos números:(x+4)²

El triple del cuadrado de la suma de dos números: 3(x+4)²

La suma de 3 números: a+b+c.

Ver vídeo:
http://www.aplicaciones.info/algebra/alge01.htm